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El Teorema de Pick

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Miguel Álvaro Pérez

 

Manchego nacido en Bilbao en 1969. Padre de dos hijas, que como todas las hijas de todos los padres son las más guapas y listas del mundo.

 

Soy profesor de Matemáticas en el Colegio Valle del Miro, de Valdemoro, aunque en esto de la enseñanza he estado en casi todas las trincheras: Primaria, Adultos, ESO, Bachillerato, FP, Jefe de Estudios, y editor de libros de texto en la Ed. SM.

 

Actualmente estoy lanzándome a la piscina de la Flipped Classroom, metodología que me ha hecho redescubrir el placer del aprendizaje.

 

Mis alumnos tienen claras tres cosas:

            Al colegio se viene a aprender.

            Si no te diviertes no aprendes.

            Si no respetas no te van a respetar.

 

También soy jugador de rugby retirado, aunque aún no he jugado mi último partido. El resto de mi tiempo me dedico a pintar y a dibujar.

 

Mi blog se mueve a tirones: entre la actividad frenética y el abandono absoluto.

 

EL TEOREMA DE PICK

 

Una de las cosas más importantes que me traje de SM-Educamos es la obsesión por hacer las matemáticas manipulativas. Dentro del curriculo de 1º ESO se encuentra, a partir del área del triángulo, el cálculo de áreas por descomposición en figuras más simples, pero la geometría es la cenicienta del curriculo de Matemáticas, porque se explica de manera axiomática y al final queda como un conjunto de definiciones, fórmulas que se aplican para obtener resutados descontextualizados y que se olvidan con la misma facildad con la que se aprendieron.

El Teorema de Pick nos ofrece la oportunidad de darle un poco de alegría al cálculo de áreas y darles a los alumnos una herramienta para contrastar sus resultados, o de llegar al mismo resultado por dos vías diferentes.

 

Un poco de historia.

 

George Pick (1859-1942) fue un matemático austríaco que desarroló gran parte de su carrera en la Universidad de Praga, destacando en Álgebra lineal, Geometría y Análisis. Llegó a ser rector de su universidad y fue amigo y protector de Einstein, al que propuso como catedrático de Física en Praga.

Pick murió en el campo de concentracón de Theresienstadt a la edad de 82 años dos semanas después de ser recluido allí.

El teorema por el que le conocemos apareción en un trabajo "menor"  de Pick (Geometría en la Teoría de números) que fue difundido por Hugo Dyonizy en los años 70 del siglo XX.

 

 El Teorema de Pick

 

El Teorema de Pick es una manera sorprendentemente sencilla de calcular el área de un polígono simple (de una sola pieza) cuyos vértices se hallan sobre los puntos de un geoplano (una cuadricula, como los cuadernos escolares).

Si llamamos D al número de puntos que quedan dentro del polígono y B al número de puntos que quedan en el borde, la fórmula de pick tiene este aspecto:

Por ejemplo, vamos a aplicar el Teorema de Pick a este polígono:

Sobre el polígono hemos marcado en azul los vértices, en rojo los puntos interiores y en verde los puntos del borde. En este caso D= 12 y B=13, por lo tanto la fórmula de Pick queda así:

es decir, el área de este polígono es 17,5 unidades de superficie.

Podemos comprobar que el cálculo es correcto descomponiendo el área en triángulos y rectángulos, como en la imagen de aquí abajo:

y calculando las áreas de los dos triángulos y rectángulos y sumándolos obtenemos el mismo resultado:

 

 

 

La propuesta didáctica.

 

Resulta que en mi colegio las paredes están alicatadas con teselas, lo cual convierte el pasillo en un inmenso geoplano, así que decidí aprovecharlo para trabajar la geometría en 1º ESO de manera manipulativa.

Partiendo de que los alumnos ya conocen el área del rectángulo y del triángulo hicimos unos ejercicios de cálculo de áreas por descomposición. Después les expliqué el Teorema de Pick y les pedía que lo aplicasen a las figuras que habían trabajado en la sesión anterior.

Luego trabajando en equipos, tenían que proponer a sus compañeros a modo de desafío el cálculo del área de algunas figuras. Finalmente les pedí que diseñaran polígonos con áreas determinadas y que saliesen al pasillo y a base de "washi-tape" y "gomets" (que mis compañeras de infantil me proporcionaron amablemente) a representarlos en las paredes.

Finalmente les pedí que grabasen un vídeo explicando sobre su polígono el Teorema de Pick.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tienen más imágenes en este albúm de Google Photos.

 

 

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Teniendo en cuenta los objetivos que nos planteamos, nuestro alumnado ha aprendido la lengua a través de este proyecto, se ha acercado a la poesía, ha desarrollado diferentes actividades creativas, ha realizado tareas de escritura, se ha acercado al curriculum educativo,pero sobre todo ha disfrutado, ha compartido espacios y tiempos escolares, ha desarrollado una autoestima positiva, ha conocido otros entornos lingüísticos, se ha sentido emocionado publicando su primer libro, titulado YO SOY…


Por mi parte, he sentido una gran satisfacción al ver a un alumnado autónomo y responsable de su aprendizaje, trabajando en el seno de un equipo, satisfecho del trabajo bien hecho y dispuesto a emprender otras ideas.

 

 

 

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Los resultados obtenidos indican que, aunque la escuela ha mejorado en los últimos años con una integración total del alumnado, aún nos encontramos lejos de la inclusión por diversos motivos. Los docentes están a favor de la inclusión pero solicitan más medios, información, formación, menos alumnado por clase para realizar una educación más individualizada partiendo de las necesidades de cada alumno y con un profesional de Pedagogía Terapéutica con mayor tiempo para dar parte del horario, dentro del aula de referencia del alumno/a.


En la etapa de infantil hay inclusión, todos juegan y aceptan las diferencias individuales de cada uno. En primaria, nos encontramos con un curriculum marcado por tiempos y clases regladas con grandes necesidades adaptativas de un alumnado muy diverso y amplio por clase. Ya en la etapa de secundaría nos alejamos enormemente por la falta de formación en el ámbito, una legislación que no colabora y una disminución de profesionales de pedagogía terapéutica que puedan orientar y apoyar el proceso.


Las entrevistas indican que no hay inclusión pero que nuestras aulas están llenas de docentes con una gran ética profesional y que dan pinceladas hacia el cambio, reflexionan hacia lo que necesitan para crear una realidad en la que todos tenemos cabida y todo esto hace que nuestras escuelas den pasos lentos pero firmes.


Desde mi propia experiencia, para que la inclusión sea efectiva necesitamos poder trabajar con un ratio menor de alumnado, un mayor refuerzo dentro de aula, entendiendo las peculiaridades de nuestro alumnado y aceptando las diferencias individuales. Necesitamos mayor comprensión legislativa y una mayor cooperación Centro, familia y grupo clase, en los que se establezcan orientaciones para todos y por todos.


Hay que dar un giro a lo que nos queda de esa mentalidad retrógrada y negativa, aceptando que nos beneficia a todos, creando en nosotros determinados valores que son esenciales en la vida, mejorándonos como docentes, compañeros y amigos.


Espero que llegue el día que no tenga que ver llorar de felicidad a una madre de un alumno de NEAE porque ha sido invitado su hijo a un cumpleaños.

 

 

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Autor/es: remedios manzano

Autor/es: remedios manzano

De los aspectos mencionados se realizan las siguiente consideraciones.

 

Formación permanente del profesorado

 

La formación del profesorado coordinador en los seminarios es muy bien valorada por ellos y todos la consideran útil para el aula. Desarrollan e implementan habitualmente en las aulas muchas de las prácticas que se aprenden en estas sesiones.

 

La formación que solicitan fundamentalmente sigue dos líneas:

 

  • Cultura del hacer, que se centra en el trabajo por proyectos y en el movimiento maker, con formación en Scratch, Lego y Design for change.

 

  • Herramientas digitales para responder a la revolución tecnológica de los últimos años, con formación en radio y flipped classroom.

 

Es necesario seguir trabajando y avanzar en esta línea formativa para potenciar el talento personal del alumnado. De esta forma se fomenta la realización de sus propias creaciones maker y DIY (Do It Yourself), pero también es necesario introducir el fomento de la curiosidad científica y las competencias STEAM (ciencias, tecnología, ingeniería, matemáticas y artes). En los seminarios de formación del programa, no se ha trabajado nunca el tema de las artes, por lo que se aconseja abordarlo en las próximas planificaciones.

 

Otra propuesta de formación sería educar la capacidad y actitud de emprendimiento con Aprendizaje Servicio (ApS), una metodología activa que dota al proyecto de un compromiso social, de actitudes proactivas, de emprendimiento social, formando por lo tanto ciudadanos capaces de transformar la sociedad.

 

Creando redes de colaboración

 

Resulta muy interesante que un centro de recursos de carácter autonómico como es el CAREI coordine el seminario y la formación asociada a este programa y así es valorado en las encuestas realizadas.

 

Al ser centros dispersos por toda la comunidad educativa aragonesa, se deberían crear comunidades de trabajo, aprendizaje y trabajo colaborativo con plataformas digitales que permitiesen generar culturas de trabajo y aprendizaje colaborativo en red. Se podría crear también un repositorio de recursos educativos abiertos que pudiesen compartir todos los centros que están desarrollando este programa en Aragón.

 

Una propuesta interesante en esta línea sería la tutorización y el mentoring, de forma que centros más veteranos mentorizaran a los nuevos centros, tanto de forma presencial como on line, realizando incluso estancias en esos centros para aprender.

 

Contribuye a la mejora de la respuesta educativa inclusiva del centro.

 

La respuesta inclusiva es una asignatura pendiente, tanto en primaria como en secundaria. En esta línea es interesante que se involucre en el programa más de un profesor y que este programa sea un proyecto de centro acordado y querido por todo el profesorado. Además, si lo que se persigue es un enfoque inclusivo del mismo y que los materiales y los recursos, así como las metodologías, incidan en la mejora de la atención educativa a la totalidad de todo el alumnado del centro, debe ser un compromiso de centro. Los datos son todavía muy bajos, y están muy lejos de que la respuesta sea inclusiva, si bien en primaria el porcentaje es superior (el 34,09 % frente del profesorado participa en el programa frente al 11,64 % en secundaria y el 50% del alumnado de primaria participa en el mismo, frente al 6,48% de secundaria). Es necesario seguir trabajando en esta línea con intervenciones globales frente a intervenciones individuales.

 

En primaria se desarrolla fundamentalmente el programa en horario lectivo, lo que propicia que se puedan hacer intervenciones globales. Sería interesante incidir en este aspecto también en educación secundaria.

 

Es notable la participación de las familias en el diseño de las actividades en secundaria, de un 21,67 % frente al 3,48 % en primaria. Si buscamos centros innovadores que posibiliten la interacción con otros agentes de transformación del entorno, debemos abrirlos a esta participación.

 

 

Recomendaciones

 

Las aulas de Desarrollo de Capacidades son laboratorios de innovación en el propio centro que promueven la creatividad, el pensamiento crítico, la conciencia social, la capacidad y actitud de emprendimiento y las habilidades para el trabajo colaborativo y por proyectos.

 

Son laboratorios de aprendizaje sin costuras o Seamless learning, donde el aprendizaje fluye, rompiendo la rigidez de los libros de texto, de los espacios y tiempos, de los agrupamientos (en primaria el 97 % del alumnado no se agrupa por niveles, son agrupamientos flexibles). Este modelo que vemos que funciona debería extrapolarse a todo el centro y no quedarse solo en intervenciones puntuales, aunque sean globales, sino constituir las señas de identidad de los centros educativos.

 

Aunque todavía queda mucho camino por andar, las perspectivas del alumnado, de las familias y del profesorado de estos centros están cambiando de manera positiva.

 

 

 

 

 

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Autor/es: coral elizondo

Autor/es: coral elizondo

Pinceladas de ilusión

tipo de documento Informes

Actualmente, y es una suerte, la inclusión es un tema candente en nuestra sociedad. Sin duda, ello se debe al clamor de asociaciones, familias, docentes y movimientos sociales que luchan por hacer realidad la creación de espacios accesibles en los que todos tengamos cabida. Ello supone hacer frente a las barreras que limitan el derecho a una educación inclusiva.


Antes de adentrarme en el mundo de la inclusión, me gustaría aclarar que este artículo no pretende teorizar acerca de qué es o qué no es, de quiénes son los sujetos objeto de la misma o cómo deben actuar los agentes implicados en esta, aunque se darán algunas pinceladas al respecto. Tampoco soy una especialista en este tema. Simplemente, ante la insatisfacción en mi trabajo, como maestra de Audición y Lenguaje, decido plantearme cómo acabar con esa brecha. Es en este momento, cuando empiezo a tomar conciencia de que existen otras formas de enseñar y también de aprender.


Así pues, lo que se pretende es describir algunas actuaciones que repercuten positivamente en la creación de aulas y centros más inclusivos, o al menos, abiertos a emprender este camino. Por tanto, se tratarán prácticas en un marco real, desde la perspectiva de una docente inmersa día a día en esta ardua tarea, en la que tanto medios como administraciones, como el desconocimiento o falta de formación de algunos profesionales, lleva en bastantes ocasiones a crear barreras difíciles de derribar.

 

La UNESCO define la inclusión como un movimiento orientado a transformar los sistemas educativos para responder a la diversidad del alumnado. Es fundamental para hacer efectivo el derecho a la educación con igualdad de oportunidades, y está relacionado con el acceso, la permanencia, la participación y los logros de todos los estudiantes, con especial énfasis en aquellos que por diferentes razones, están excluidos o en riesgo de ser marginados.

 

El propósito de la educación inclusiva es permitir que los maestros y estudiantes se sientan cómodos ante la diversidad y la perciban no como un problema, sino como un desafío y una oportunidad para enriquecer las formas de enseñar y aprender. (UNESCO, 2005)


Esta definición se circunscribe al ámbito educativo y escolar, en el cual se desarrollan mis propuestas, enmarcadas en un centro ordinario. Dichas actuaciones siempre se realizan teniendo en cuenta que de ello dependerá la participación del alumno en la sociedad.


En este marco, hablar de inclusión es hablar de atención a la diversidad y de sus implicaciones. Por tanto, debe ser considerada como una búsqueda interminable de formas más adecuadas de responder a la diversidad (Ainscow, Both y Dyson 2006). A lo largo de este proceso, es preciso y prioritario, no perder de vista la búsqueda de respuestas adecuadas y ajustadas a las necesidades reales que presentan los alumnos
(individual y socialmente considerados). Para ello, recurrimos al uso de los medios que en ese momento estén a nuestro alcance.


A lo largo de los años, a partir de investigaciones, estudios y reflexiones, van surgiendo propuestas para abordar la inclusión. La mayoría de ellas, con las que estoy totalmente de acuerdo, están basadas en el uso de metodologías activas y participativas. Convencida de que es el camino a seguir, actualmente mi formación, siempre desde un enfoque práctico, gira en torno a ellas.


Tres aspectos claves en todas mis actuaciones y propuestas son: una actitud abierta y colaborativa, los principios marcados por el Diseño Universal de Aprendizaje y el uso de las TIC.


Por otra parte, considero que no existe un único itinerario para todos. El proceso a seguir difiere de un centro a otro, e incluso en aulas de un mismo centro, ya que está mediatizado por el contexto inmediato y no solo por el tipo de alumnado. Ello implica conocer bien la realidad de la que partimos y, al igual que en cualquier actuación o proceso que iniciamos, es necesario partir de una evaluación (indagación y reflexión) de esta. Para ello disponemos de algunas herramientas como Análisis DAFO y el Index for Inclusión, elaborado por Tony Booth y Mel Ainscow (2002). Con respecto a esta última se puede consultar la 3ª edición traducida y adaptada por Gerardo Echeita, Yolanda Muñoz y Marta Sandoval “Guía para la Educación Inclusiva”.


Tras realizar alguno de estos análisis, y detectadas las barreras que nos impiden avanzar hacia la inclusión, sería el momento de iniciar planes de mejora que estén a nuestro alcance. A veces, puede ser oportuno comenzar con actuaciones puntuales que sirvan de ejemplo, transmiten nuestro entusiasmo y despiertan motivación.


 

Este informe ha sido redactado por Lucia Fernández Vivancos (@lucilogo) para descargártelo completo debes hacer clic sobre el título: Pinceladas de ilusión

 

 

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No#BEDades nº 18

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Publicado el 5.12.2016 por Joaquín Pinto Bruno

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